1 算法原理
基本原理从某处摘得:设直线方程为y
i+
1=y
i+k(x
i+
1-x
i)+k。假设列坐标象素已经确定为x
i,其行坐标为y
i。那么下一个象素的列坐标为x
i+1,而行坐标要么为y
i,要么递增1为y
i+1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d
0=0,x坐标每增加1,d的值相应递增直线的斜率值k,即d=d+k。一旦d≥1,就把它减去1,这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时,直线与垂线x=x
i+1交点最接近于当前象素(x
i,y
i)的右上方象素(x
i+1,y
i+1);而当d<0.5时,更接近于右方象素(x
i+1,y
i)。为方便计算,令e=d-0.5,e的初值为-0.5,增量为k。当e≥0时,取当前象素(x
i,y
i)的右上方象素(x
i+1,y
i+1);而当e<0时,取(x
i,y
i)右方象素(x
i+1,y
i)。
由于显示直线的像素点只能取整数值坐标,可以假设直线上第i个像素点的坐标为(X
i,Y
i),它是直线上点(X
i,Y
i)最佳近似,并且X
i=X
i(假设m<1),如下图所示.那么直线上下一个像素点的可能位置是(X
i+1,Y
i)或者(X
i+1,Y
i+1).
由图可知:在x=X
i+1处,直线上的点y的值是:y=m(X
i+1)+b,该点离像素点(X
i+1,Y
i)和像素点(X
i+1,Y
i+1)的距离分别为d1和d2。
d1 = Y – Y
i = m(X
i+1)+b – Y
i; (1)
d2 = (Y
i+1) – Y = (Y
i+1) – m(X
i+1) – b; (2)
两个距离的差是:
d1-d2 = 2m(X
i+1) – 2Y
i + 2b -1; (3)
对于公式(3):
a:当此值为正时,d1>d2,说明直线上理论点离(X
i+1,Y
i+1)像素较近,下一个像素点应取(X
i+1,Y
i+1);
b:当此值为负时,d1<d2,说明直线上理论点离(X
i+1,Y
i)像素较近,下一个像素点赢取(X
i+1,Y
i);
c:当此值为零时,d1=d2,说明直线上理论点离上、下两个像素点的距离相等,取那个点都行,假设算法规定这种情况下取(X
i+1,Y
i+1)作为下一个像素点。
因此只要利用(d1-d2)的符号就可以决定下一个像素点的选择。需进一步定义一个判别式:
P
i = △X × (d1-d2) = 2△Y·X
i – 2△X·Y
i + c (4)
其中△X=(X2-X1)>0,因此P
i与(d1-d2)有相同的符号;
△Y=Y2-Y1;m=△Y/△X;c=2△Y+△X(2b-1)
对(4)进一步处理得出误差判别递推公式并消除常数c;
将(4)中的下标i改为i+1,得到:
P
i+1 = △X × (d1-d2) = 2△Y·X
i+1 – 2△X·Y
i+1 + c (5)
假设直线的初始端点恰好是其像素点的坐标,即满足:
Y1 = mX1 + b ; (6)
由公式(4)和(6)得到p1的初始值:
P1 = 2△Y – △X; (7)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 1/*推导过程*/
2Pi = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi - 2△X·Yi + c (4)
3Y1 = mX1 + b (6)
4
5P1 = 2△Y·X1 - 2△X·Y1 + c
6 = 2△Y·X1 - 2△X·(△Y/△X·X1+b) + c
7 = 2△Y·X1 - 2△Y·X1 - 2△X·b + c
8 = c - 2△X·b
9 = 2△Y+△X(2b-1) - 2△X·b
10 = 2△Y - △X
11
所以可以用误差判别变量,得到如下算法表示:
初始:
P1 = 2△Y – △X (8)
当P
i>=0时:Y
i+1 = Y
i + 1,X
i+1 = X
i + 1,
P
i+1 = P
i + 2(△Y-△X)[根据公式(4)和(5)得出];
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 1/*推导过程*/
2 Pi = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi - 2△X·Yi + c (4)
3Pi+1 = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi+1 - 2△X·Yi+1 + c (5)
4
5 (4)-(5)得:
6
7 Pi+1 = Pi + (2△Y·Xi+1)-2△Y·Xi - (2△X·Yi+1)+2△X·Yi
8
9∵ Pi>0 时 Yi+1 = Yi + 1,Xi+1 = Xi + 1
10∴ Pi+1 = Pi + (2△Y·(Xi + 1))-2△Y·Xi - (2△X·(Yi + 1))+2△X·Yi
11 = Pi + 2(△Y-△X)
12
否则:Y
i+1 = Y
i,X
i+1=X
i + 1,
P
i+1=P
i+2△y[根据公式(4)和(5)得出]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 1/*推导过程*/
2 Pi = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi - 2△X·Yi + c (4)
3 Pi+1 = △X × (d1-d2) = 2△Y·Xi+1 - 2△X·Y(i+1) + c (5)
4
5 (4)-(5)得:
6
7 Pi+1 = Pi + (2△Y·Xi+1)-2△Y·Xi - (2△X·Yi+1)+2△X·Yi
8
9∵ Pi>0 时 Yi+1 = Yi,Xi+1 = Xi + 1
10∴ Pi+1 = Pi + (2△Y·(Xi + 1))-2△Y·Xi - (2△X·(Yi))+2△X·Yi
11 = Pi + 2△Y
12
从(8)式可以看出,第i+1步的判别变量P
i+1仅与第i步的判别变量P
i、直线的两个端点坐标分量差△X和△Y有关,运算中只含有整数相加和乘2运算,而乘2可利用算术左移一位来完成,因此这个算法速度快并易于硬件实现。